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直三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，$\angle BCA = 90^\circ $，$M,N$ 分别是 ${A_1}{B_1},{A_1}{C_1}$ 的中点，$BC = CA = C{C_1}$，则 $BM$ 与 $AN$ 所成角的余弦值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{1}{10}$
B: $\dfrac{2}{5}$
C: $\dfrac{{\sqrt {30} }}{10}$
D: $\dfrac{\sqrt 2 }{2}$
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何体
    >
    多面体
    >
    棱柱
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    异面直线所成的角
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    点线面的位置关系
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
  • 题型
    >
    立体几何
【答案】
C
【解析】
本题是求异面直线所成的角问题，一般有几何法和向量法两种解决方案．几何法常通过平移其中一条直线与另外一条直线相交，找到所要求的角，再解此角所在的三角形；向量法就是建立空间直角坐标系，在两条直线上分别取方向向量，两方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补．法一：
如图，取 $BC$ 的中点 $D$，连接 $MN$，$ND$，$AD$．由于 $MN\parallel B_1C_1$，$MN=\dfrac12 B_1C_1$，所以 $MN\parallel BD$，$MN= BD$，所以 $ND\parallel BM$，则 $ND$ 与 $AN$ 所成的角即为异面直线 $BM$ 与 $AN$ 所成的角．
设 $AC=2$，则 $BM=ND=\sqrt6$，$AN=\sqrt5$，$AD=\sqrt5$，因此\[\cos\angle {AND}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{ND^2+NA^2-AD^2}{2ND\cdot NA}=\dfrac{{\sqrt {30} }}{10}.\]（推导中用到 $\left[a\right]$）
法二：
可以用向量法解决．
如图，分别以 $CB、CA、CC_1$ 所在直线为 $x、y、z$ 轴建立空间直角坐标系．设 $AC=2$，则 $B\left(2,0,0\right)$，$A\left(0,2,0\right)$，$C_1\left(0,0,2\right)$，$B_1\left(2,0,2\right)$，$A_1\left(0,2,2\right)$，$M\left(1,1,2\right)$，$N\left(0,1,2\right)$．
所以 $\overrightarrow{BM}=\left(-1,1,2\right)$，$\overrightarrow{AN}=\left(0,-1,2\right)$．
所以\[\cos{\left\langle\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AN}\right\rangle}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{AN}|}\overset{\left[a\right]}=\dfrac{{\sqrt {30} }}{10}.\]（推导中用到 $\left[a\right]$）
题目 答案 解析 备注
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