直线 $l:y = kx + 1$ 与圆 $O:{x^2} + {y^2} = 1$ 相交于 $A,B$ 两点，则“$k = 1$”是“$\triangle OAB$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}$”的 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据面积为 $\dfrac12$，列出关于斜率 $k$ 的等式，求出直线斜率 $k$ 的值，再判断充分必要性即可．直线 $l$ 化为一般式方程为\[kx-y+1=0,\]根据点到直线距离公式，知圆心 $\left(0,0\right)$ 到直线的距离为\[d=\dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}},\]再结合 $AB$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 的弦，则弦长为\[2\sqrt{1-\dfrac{1}{k^2+1}}=\dfrac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}},\]所以，\[S_{\triangle OAB}=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\dfrac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}=\dfrac12,\]解得 $k=\pm1$．
因此，" $k=1$ " 是 " $\triangle OAB$ 的面积为 $\dfrac12$ " 的充分而不必要条件．
因此，" $k=1$ " 是 " $\triangle OAB$ 的面积为 $\dfrac12$ " 的充分而不必要条件．
题目
答案
解析
备注
