已知集合 $A=\left\{x|x=2n-1,n\in\mathbb{N}^{\ast}\right\}$，$B=\left\{x|x=2^n,n\in\mathbb{N}^{\ast}\right\}$，将 $A\bigcup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\left\{a_n\right\}$，记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_n>12a_{n+1}$ 成立的最小 $n$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2018年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$27$
【解析】
设最小的 $n$ 为 $m$，则 $S_m>12a_{m+1}$，且 $S_{m-1}\le12a_m$．
做差可得 $a_m>12a_{m+1}-12a_m$，即 $a_{m+1}<\dfrac{13}{12}a_m$．
$a_m=15$ 或 $a_m=16$ 或 $a_m\geqslant 25$
当 $a_m=15$ 时，$m=11$，$S_m=78$，$a_{m+1}=16$，不符合题意．
当 $a_m=16$ 时，$m=12$，$S_m=90$，$a_{m+1}=17$，不符合题意．
当 $a_m=25$ 时，$m=17$，$S_m=199$，$a_{m+1}=26$，不符合题意．
若 $a_m=31$ 时，$m=20$，$S_m=286$，$a_{m+1}=32$，不符合题意．
若 $a_m=32$ 时，$m=21$，$S_m=318$，$a_{m+1}=33$，不符合题意．
若 $33\leqslant a_m\leqslant 61$，$S_m=\left(\dfrac{a_m+1}{2}\right)^2+62$，$a_{m+1}=a_m+2$．即 $\left(a_m-23\right)^2>340$．解得 $a_m\ge42$，$a_m$ 的最小值为 $43$，
此时 $m=22+5=27$．
做差可得 $a_m>12a_{m+1}-12a_m$，即 $a_{m+1}<\dfrac{13}{12}a_m$．
$a_m=15$ 或 $a_m=16$ 或 $a_m\geqslant 25$
当 $a_m=15$ 时，$m=11$，$S_m=78$，$a_{m+1}=16$，不符合题意．
当 $a_m=16$ 时，$m=12$，$S_m=90$，$a_{m+1}=17$，不符合题意．
当 $a_m=25$ 时，$m=17$，$S_m=199$，$a_{m+1}=26$，不符合题意．
若 $a_m=31$ 时，$m=20$，$S_m=286$，$a_{m+1}=32$，不符合题意．
若 $a_m=32$ 时，$m=21$，$S_m=318$，$a_{m+1}=33$，不符合题意．
若 $33\leqslant a_m\leqslant 61$，$S_m=\left(\dfrac{a_m+1}{2}\right)^2+62$，$a_{m+1}=a_m+2$．即 $\left(a_m-23\right)^2>340$．解得 $a_m\ge42$，$a_m$ 的最小值为 $43$，
此时 $m=22+5=27$．
题目
答案
解析
备注
