等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$，$a_{3}=3$，$S_{4}=10$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{S_{k}}=$ ．
【难度】
【出处】
2017年高考全国甲卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2n}{n+1}$
【解析】
由 $S_{4}=10$，$a_{3}=3$，可得 $a_{1}=1$，$d=1$，所以 $a_{n}=n$．因此 $S_{n}=\dfrac{(1+n)n}{2}$，所以\[\dfrac{1}{S_{n}}=2\cdot \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right).\]于是\[\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{S_{k}}\overset{[a]}=2\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{2n}{n+1}.\]（推导中用到：[a]）
题目
答案
解析
备注
