若函数 ${\rm e}^{x}f(x)$（${\rm e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 $M$ 性质．下列函数中所有具有 $M$ 性质的函数的序号为 ．
$\text{ ① }$ $f(x)=2^{-x}$；$\text{ ② }$ $f(x)=3^{-x}$；$\text{ ③ }$ $f(x)=x^{3}$；$\text{ ④ }$ $f(x)=x^{2}+2$．
$\text{ ① }$ $f(x)=2^{-x}$；$\text{ ② }$ $f(x)=3^{-x}$；$\text{ ③ }$ $f(x)=x^{3}$；$\text{ ④ }$ $f(x)=x^{2}+2$．
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（理）
【标注】
【答案】
①④
【解析】
① 对于函数 $f(x)=2^{-x}$，有 ${\rm e}^xf(x)=\left(\dfrac{\rm e}2\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；
② 对于函数 $f(x)=3^{-x}$，有 ${\rm e}^xf(x)=\left(\dfrac{\rm e}3\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减；
③ 对于函数 $f(x)=x^3$，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(x^3+3x^2\right)={\rm e}^x\cdot x^2\left(x+3\right),\]因此在 $(-\infty,-3)$ 上，函数 ${\rm e}^xf(x)$ 单调递减；
④ 对于函数 $f(x)=x^2+2$，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(x^2+2+2x\right)={\rm e}^x\left[(x+1)^2+1\right]>0,\]因此函数 ${\rm e}^xf(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
综上所述，具有 $M$ 性质的函数的序号是 ①④．
② 对于函数 $f(x)=3^{-x}$，有 ${\rm e}^xf(x)=\left(\dfrac{\rm e}3\right)^x$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减；
③ 对于函数 $f(x)=x^3$，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(x^3+3x^2\right)={\rm e}^x\cdot x^2\left(x+3\right),\]因此在 $(-\infty,-3)$ 上，函数 ${\rm e}^xf(x)$ 单调递减；
④ 对于函数 $f(x)=x^2+2$，有\[\left({\rm e}^xf(x)\right)'={\rm e}^x\left(x^2+2+2x\right)={\rm e}^x\left[(x+1)^2+1\right]>0,\]因此函数 ${\rm e}^xf(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
综上所述，具有 $M$ 性质的函数的序号是 ①④．
题目
答案
解析
备注
