已知函数 $f(x)=x^3-2x+\mathrm e^x-\dfrac {1}{\mathrm e^x}$，其中 $\mathrm e$ 是自然对数的底数．若 $f(a-1)+f(2a^2)\leqslant 0$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2017年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\left[-1,\dfrac 12\right]$
【解析】
因为$$f(-x)=-x^3+2x-\mathrm e^x+\dfrac {1}{\mathrm e^x}=-f(x),$$所以函数 $f(x)$ 为奇函数；由 $f(a-1)+f(2a^2)\leqslant 0$，得 $ f(2a^2)\leqslant f( 1-a) $．又因为$$f'(x)=3x^2-2+\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}\geqslant 3x^2-2+2\sqrt {\mathrm e^x\cdot \mathrm e^{-x}} \geqslant 0,$$所以函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，由 $ f(2a^2)\leqslant f( 1-a) $，得 $2a^2 \leqslant 1-a$，解得 $-1 \leqslant a \leqslant \dfrac 12$，故 $a$ 的取值范围是 $\left[-1,\dfrac 12\right]$．
题目
答案
解析
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