已知向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 满足 $|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$．则 $|\overrightarrow a+\overrightarrow b|+|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$ 的最小值是 ，最大值是 ．
【难度】
【出处】
2017年高考浙江卷
【标注】
【答案】
$4$；$2\sqrt 5$
【解析】
设向量 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 的夹角为 $\theta$，则由余弦定理得\[\begin{split}\left| \overrightarrow a- \overrightarrow b\right|&=\sqrt {1^2+2^2-2\times 1\times 2 \cos \theta}=\sqrt {5-4\cos \theta},\\ \left| \overrightarrow a+\overrightarrow b\right|&=\sqrt {1^2+2^2-2\times 1\times 2 \cos (\pi-\theta)}=\sqrt {5+4\cos \theta}. \end{split}\]则$$y=\left| \overrightarrow a- \overrightarrow b\right|+\left| \overrightarrow a+ \overrightarrow b\right| =\sqrt {5-4\cos \theta}+ \sqrt {5+4\cos \theta}, $$则$$y^2=10+2\sqrt {25-16\cos ^2\theta} \in [16,20].$$故 $|\overrightarrow a+\overrightarrow b|+|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$ 的最小值是 $4$，最大值是 $2\sqrt 5$．
题目
答案
解析
备注
