设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=4$，$a_{n+1}=2S_n+1,n\in{\mathbb N}^*$，则 $a_1=$ ，$S_5=$ ．
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
$1$；$121$
【解析】
本题需要作差把 $S_n$ 转化为 $a_n$，得到递推公式后再做处理．由题意有\[\begin{cases}a_1+a_2=4,\\a_2=2a_1+1.\end{cases}\]可得到\[a_1=1,a_2=3.\]再由\[\begin{split}a_{n+1}=2S_n+1,\\a_n=2S_{n-1}+1.\end{split}\]两式作差可得\[a_{n+1}-a_n=2a_n,\]也即\[a_{n+1}=3a_n\left(n\geqslant 2\right).\]又\[a_2=3a_1,\]所以\[a_{n+1}=3a_n\left(n\geqslant 1\right).\]于是$S_5=\dfrac{1-3^5}{1-3}=121$．
题目
答案
解析
备注
