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已知双曲线 $E:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\left(a>0,b>0\right)$，若矩形 $ABCD$ 的四个顶点在 $E$ 上，$AB$，$CD$ 的中点为 $E$ 的两个焦点，且 $2|AB|=3|BC|$，则 $E$ 的离心率是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考山东卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的通径
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
$2$
【解析】
由矩形对边的中点是焦点，再结合双曲线的对称性，不难发现，矩形的一边长是双曲线的通径，一边长为焦距，然后由题中的关系式，即可解得答案．此题画个简图，会使问题更直观明了．由题意可知，$AB$，$CD$ 是双曲线的通径为 $\dfrac{2b^{2}}{a}$，$BC=2c$，所以 $\dfrac{4b^{2}}{a}=6c$，又 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$，由两式可解得离心率$e=\dfrac{c}{a}=2$．
题目 答案 解析 备注
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