双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$ 的渐近线为正方形 $OABC$ 的边 $OA$，$OC$ 所在的直线，点 $B$ 为该双曲线的焦点，若正方形 $OABC$ 的边长为 $2$，则 $a=$
【难度】
【出处】
2016年高考北京卷（理）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
本题考查双曲线的基本量，充分利用渐近线的特点和正方形的条件列出关系式求解．不妨令 $B$ 为双曲线的右焦点，$A$ 在第一象限，则双曲线的图象如图所示：
因为四边形 $OABC$ 为正方形，所以\[|OA|=2,c=|OB|=2\sqrt 2,\angle AOB=\dfrac{\mathrm \pi} 4.\]又因为直线 $OA$ 是渐近线，方程为 $y=\dfrac bax$，所以\[\dfrac ba=\tan \angle AOB=1,\]结合 $a^2+b^2=c^2$ 可得 $a=2$．
因为四边形 $OABC$ 为正方形，所以\[|OA|=2,c=|OB|=2\sqrt 2,\angle AOB=\dfrac{\mathrm \pi} 4.\]又因为直线 $OA$ 是渐近线，方程为 $y=\dfrac bax$，所以\[\dfrac ba=\tan \angle AOB=1,\]结合 $a^2+b^2=c^2$ 可得 $a=2$．
题目
答案
解析
备注
