一个圆经过椭圆 $\dfrac {x^2}{16}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 的三个顶点，且圆心在 $x$ 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（理）
【标注】
【答案】
$\left(x-\dfrac32\right)^2+y^2=\dfrac{25}{4}$
【解析】
本题考查圆的方程的求解，注意题目提供了圆上的三个已知点．由圆心在 $x$ 轴正半轴上，可知圆经过椭圆的上、下顶点和右顶点，即圆经过点 $\left(0,2\right)$、$\left(0,-2\right)$、$\left(4,0\right)$．
设圆心为 $\left(m,0\right)$，半径为 $r$，所以圆的标准方程为 $ \left(x-m\right)^2+y^2=r^2\left(0<m<4\right)$，则\[ \begin{cases}m^2+4=r^2,\\\left(4-m\right)^2=r^2.\end{cases} \]解得 $ \begin{cases}m=\dfrac 32,\\r=\dfrac 52.\end{cases} $ 所以圆的标准方程为 $\left(x-\dfrac32\right)^2+y^2=\dfrac{25}{4}$．
设圆心为 $\left(m,0\right)$，半径为 $r$，所以圆的标准方程为 $ \left(x-m\right)^2+y^2=r^2\left(0<m<4\right)$，则\[ \begin{cases}m^2+4=r^2,\\\left(4-m\right)^2=r^2.\end{cases} \]解得 $ \begin{cases}m=\dfrac 32,\\r=\dfrac 52.\end{cases} $ 所以圆的标准方程为 $\left(x-\dfrac32\right)^2+y^2=\dfrac{25}{4}$．
题目
答案
解析
备注
