在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $3\sqrt {15}$，$b-c=2$，$\cos A=-\dfrac 14$，则 $a$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2015年高考天津卷（理）
【标注】
【答案】
$8$
【解析】
由余弦定理知 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，其中 $ \cos A$ 的值是已知的，所以只要求出 $b^2+c^2$ 和 $bc$ 的值即可．由 $ \cos A=-\dfrac 14 $ 可得 $ \sin A=\dfrac {\sqrt {15}}4$．
因为 $ S=\dfrac 12 bc\sin A=3\sqrt {15} $，所以\[bc=24,\]再结合 $ b-c=2 $，可得\[ b^2+c^2=52, \]于是由余弦定理得\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64 ,\]解得 $ a=8 $．
因为 $ S=\dfrac 12 bc\sin A=3\sqrt {15} $，所以\[bc=24,\]再结合 $ b-c=2 $，可得\[ b^2+c^2=52, \]于是由余弦定理得\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64 ,\]解得 $ a=8 $．
题目
答案
解析
备注
