题目 设 $F$ 是双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的一个焦点，若 $C$ 上存在点 $P$，使线段 $PF$ 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 $C$ 的离心率为<nn> </nn>． 答案 $\sqrt 5$ 解析 将点 $P$ 和点 $F$ 的中点代入渐近线方程，得到关于 $a,b,c$ 的等式，问题得到解决．设点 $F$ 为双曲线的右焦点，坐标为 $\left(c,0\right)$，根据中点坐标公式，得 $P\left(-c,2b\right)$，将其代入双曲线方程，得\[\dfrac{c^2}{a^2}-\dfrac{4b^2}{b^2}=1,\]解得双曲线的离心率$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt5$．<img src="http://bison.img.eduzhixin.com/math-img/c5761019cf8840d9d44529bd0d15ec7a.png" class="img-responsive" /> 备注