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设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，若数列 $\left\{ {{2^{{a_1}{a_n}}}} \right\}$ 为递减数列，则 \((\qquad)\)
A: $d < 0$
B: $d > 0$
C: ${a_1}d > 0$
D: ${a_1}d < 0$
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    复合函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的单调性
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的定义与通项
  • 题型
    >
    数列
【答案】
D
【解析】
由复合函数单调性知，数列 $\left\{ {{2^{{a_1}{a_n}}}} \right\}$ 为递减数列，则 $y=a_1a_n$ 是关于 $n$ 的递减函数．由 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列可得\[a_1a_n=a_1dn+a_1^2-a_1d.\]若数列 $\left\{ {{2^{{a_1}{a_n}}}} \right\}$ 为递减数列，则数列 $\left\{a_1a_n\right\}$ 为递减数列，所以 ${a_1}d < 0$．
题目 答案 解析 备注
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