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如图，点 $A$ 的坐标为 $\left(1,0\right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left(2,4\right)$，函数 $f\left(x\right)=x^2$．若在矩形 $ABCD$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    积分
    >
    定积分的计算
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    几何概型
  • 题型
    >
    微积分初步
  • 题型
    >
    计数与概率
    >
    概率计算题
【答案】
$\dfrac 5{12}$
【解析】
根据题意，通过定积分求出阴影部分面积，面积比即为所求概率．由积分的含义，阴影部分的面积为\[S=\int_1^2\left(4-x^2\right)\mathrm dx=\left(4x-\dfrac13x^3\right)=\dfrac53.\]结合矩形面积为 $4$，得所求概率\[P=\dfrac{S}{S_{矩形}}=\dfrac{5}{12}.\]
题目 答案 解析 备注
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