若函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}
-x+6,&x\leqslant 2,\\
3+{\log_a}x,&x>2
\end{cases}$（$a>0$，且 $a\neq 1$）的值域是 $\left[4,+\infty\right)$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
-x+6,&x\leqslant 2,\\
3+{\log_a}x,&x>2
\end{cases}$（$a>0$，且 $a\neq 1$）的值域是 $\left[4,+\infty\right)$，则实数 $a$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
2015年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
$\left(1,2\right]$
【解析】
分别求出分段函数各段的值域，其并集就是函数的值域，再结合对数函数单调性，问题得到解决．当 $x\leqslant 2$ 时，$y=-x+6$，$y$ 的取值范围是 $\left[4,+\infty\right)$；
因为函数 $f\left(x\right)$ 的值域为 $\left[4,+\infty\right)$，因此，当 $x>2$ 时，$3+\log_ax\geqslant4$，利用对数换底公式，整理得\[\dfrac{1}{\log_xa}\geqslant1,\]即\[0<\log_xa\leqslant 1,\]又 $x>2$，根据对数函数单调性，解得 $1<a\leqslant x$，因此，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,2\right]$．
因为函数 $f\left(x\right)$ 的值域为 $\left[4,+\infty\right)$，因此，当 $x>2$ 时，$3+\log_ax\geqslant4$，利用对数换底公式，整理得\[\dfrac{1}{\log_xa}\geqslant1,\]即\[0<\log_xa\leqslant 1,\]又 $x>2$，根据对数函数单调性，解得 $1<a\leqslant x$，因此，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,2\right]$．
题目
答案
解析
备注
