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已知点 $A\left( { - 2,3} \right)$ 在抛物线 $C:{y^2} = 2px$ 的准线上，过点 $A$ 的直线与 $C$ 在第一象限相切于点 $B$，记 $C$ 的焦点为 $F$，则直线 $BF$ 的斜率为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{1}{2}$
B: $\dfrac{2}{3}$
C: $\dfrac{3}{4}$
D: $\dfrac{4}{3}$
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    抛物线
    >
    抛物线的几何量
    >
    抛物线的基本量与几何性质
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
D
【解析】
本题可求出抛物线后，通过判断直线与抛物线的位置关系得到点 $B$，然后计算即可．由题意先求出准线方程为\[ x=-2, \]再求出\[ p=4 ,\]从而得到抛物线方程\[ C:y^2=8x. \]分析知，切线的斜率存在，所以设切线方程为 $y-3=k\left(x+2\right)$，与抛物线的方程联立可得\[\dfrac k8y^2-y+2k+3=0,\]由直线与抛物线相切可得\[\Delta=1-4\times \dfrac k8 \left(2k+3\right)=0, \]解得 $k=\dfrac 12$ 或 $k=-1$（舍）．
进一步可求得点 $B\left(8,8\right)$，又 $F\left(2,0\right)$，所以直线 $BF$ 的斜率为\[k'=\dfrac{8}{8-2}=\dfrac{4}{3}.\]
题目 答案 解析 备注
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