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如图，已知 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，$AB=4$，$EC$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $C$，$BC=1$．过圆心 $O$ 作 $BC$ 的平行线，分别交 $EC$ 和 $AC$ 于点 $D$ 和点 $P$，则 $OD=$  ．
【难度】
【出处】
2015年高考广东卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    平面几何中的常用知识
    >
    圆幂定理
  • 题型
    >
    平面几何
【答案】
$ 8 $
【解析】
本小题主要考查圆幂定理．连接 $OC$，由 $AB$ 为直径，$C$ 为圆上点，知 $AC\perp BC$，又 $BC\parallel OD$，因此 $AC\perp OP$，所以点 $P$ 为线段 $AC$ 的中点．在 $\triangle OCP$ 中，$OP=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac12$，$CP=\sqrt{OC^2-OP^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$．因为 $DC$ 为圆 $O$ 的切线，由圆幂定理可得 $DC^2={OD}^2-r^2$．在 ${\mathrm R}t\triangle OCD$ 中，根据面积相等，可得 $OD\cdot CP=CD\cdot OC$，故 $OD\cdot \dfrac{\sqrt{15}}{2}=\sqrt{OD^2-4}\cdot 2$，解得 $OD=8$．
题目 答案 解析 备注
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