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若二项式 ${\left( {2x + \dfrac{a}{x}} \right)^7}$ 的展开式中 $\dfrac{1}{x^3}$ 的系数是 $84$，则实数 $a = $  \((\qquad)\)
A: $2$
B: $\sqrt[5]{4}$
C: $1$
D: $\dfrac{\sqrt 2 }{4}$
【难度】
【出处】
2014年高考湖北卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    二项式定理
  • 题型
    >
    计数与概率
【答案】
C
【解析】
本题按二项展开式的通项计算即可．展开式的通项\[T_{r+1}={\mathrm{C}}_7^r\left(2x\right)^{7-r}\left(\dfrac ax\right)^r=2^{7-r}a^r{\mathrm{C}}_7^rx^{7-2r}.\]由题意可得\[\begin{cases}7-2r=-3,\\2^{7-r}a^r{\mathrm{C}}_7^r=84.\end{cases}\]解得\[r=5,a=1.\]
题目 答案 解析 备注
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