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设 ${F_1}$，${F_2}$ 分别是椭圆 $E:{x^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(0 < b < 1\right)$ 的左、右焦点，过点 ${F_1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，若 $|A{F_1}| = 3|B{F_1}|$，$A{F_2} \perp x$ 轴，则椭圆 $E$ 的方程为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的基本量
  • 知识点
    >
    高中视角下的解析几何
    >
    平面向量与平面直角坐标系
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
${x^2} + \dfrac{3}{2}{y^2} = 1$
【解析】
条件“过点 ${F_1}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，$|A{F_1}| = 3|B{F_1}|$”可以转化成 $ \overrightarrow {AF_1}=3\overrightarrow {F_1B}$．不妨设 $A$ 为第一象限的点，因为 $AF_2\perp x$ 轴，故 $A\left(\sqrt {1-b^2},b^2\right)$．又 $|A{F_1}| = 3|B{F_1}|$，可得 $ \overrightarrow {AF_1}=3\overrightarrow {F_1B}$，故 $B\left(-\dfrac{5\sqrt {1-b^2}}{3},-\dfrac{b^2}{3}\right)$，将 $ B $ 的坐标代入椭圆方程解得 $b^2=\dfrac{2}{3}$，所以椭圆方程为 ${x^2} + \dfrac{3}{2}{y^2} = 1$．
题目 答案 解析 备注
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