设 $m \in {\mathbb{R}}$，过定点 $ A $ 的动直线 $x + my = 0$ 和过定点 $ B $ 的动直线 $mx - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P\left(x,y\right)$，则 $|PA| \cdot |PB|$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考四川卷（理）
【标注】
【答案】
$ 5 $
【解析】
由直线方程的特点知两动直线互相垂直，进而得出线段 $PA$ 与 $PB$ 的平方和为定值（定点 $A$ 与 $B$ 距离的平方），故可以利用均值不等式求出最值．由直线的方程，得定点 $A\left(0,0\right)$，$B\left(1,3\right)$，且 $PA \perp PB$，则\[{\left| {PA} \right|^2} + {\left| {PB} \right|^2} = {\left| {AB} \right|^2} = 10.\]所以\[\left| {PA} \right| \cdot \left| {PB} \right| \overset {\left[a\right]}\leqslant \dfrac{{{{\left| {PA} \right|}^2} + {{\left| {PB} \right|}^2}}}{2} = 5,\]（推导中用到 $\left[a\right]$）当且仅当 $\left| {PA} \right| = \left| {PB} \right|$ 时，上式取等号．
题目
答案
解析
备注
