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函数 $f\left( x \right) = {\log _2}\sqrt x \cdot {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x} \right)$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    对数函数
    >
    对数及其运算
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    二次函数
  • 题型
    >
    函数
【答案】
$ - \dfrac{1}{4}$
【解析】
本题 $f(x)$ 的解析式中对数的底数不统一，需首先统一底数，继而通过对数运算整理解析式，达到求最值的目的．依据对数运算可得\[f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{\log _2}x \cdot 2{\log _2}(2x )= {\log _2}x \cdot \left( {1 + {{\log }_2}x} \right).\]令 $t = {\log _2}x \in {\mathbb R}$，则\[y = t\left( {1 + t} \right) = {\left( {t + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4},\]从而当 $t = - \dfrac{1}{2}$ 时，$f\left( x \right)$ 的最小值为 $-\dfrac 14 $．
题目 答案 解析 备注
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