这是一个恒成立问题，可先求出左侧函数的最小值，然后令这个值大于等于右侧关于 $a$ 的代数式，然后解出 $a$ 的取值范围．要使不等式 $\left| {2x - 1} \right| + \left| {x + 2} \right| \geqslant {a^2} + \dfrac{1}{2}a + 2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，只需 $\left(\left| {2x - 1} \right| + \left| {x + 2} \right|\right)_{\min}\geqslant {a^2} + \dfrac{1}{2}a + 2$ 即可．
令\[f\left(x\right)=\left| {2x - 1} \right| + \left| {x + 2} \right|=2\left|x-\dfrac 12\right|+\left|x+2\right| ,\]而 $ \left|x-\dfrac 12\right|+\left|x+2\right|$ 表示数轴上点 $x$ 到 $-2$ 和 $\dfrac 12$ 的距离之和，当 $x$ 位于 $\dfrac 12$ 和 $-2$ 之间时，距离之和最小，为 $\dfrac 52$．
$\left|x-\dfrac 12\right|$ 表示 数轴上的点 $x$ 到 $\dfrac 12$ 的距离，当 $x=\dfrac 12$ 时，这个距离最小，为 $0$．
综上所述，$f\left(x\right)=2\left|x-\dfrac 12\right|+\left|x+2\right|$ 在 $x=\dfrac 12$ 时取得最小值，最小值为 $\dfrac 52$．所以\[{a^2} + \dfrac{1}{2}a + 2 \leqslant \dfrac{5}{2},\]解得 $-1\leqslant a\leqslant \dfrac 12 $．