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在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $b - c = \dfrac{1}{4}a$，$2\sin B = 3\sin C$，则 $\cos A$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考天津卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    正弦定理
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
【答案】
$ - \dfrac{1}{4}$
【解析】
求角 $A$ 的余弦值，根据已知条件有边的关系，故可以用余弦定理来求．因为 $2\sin B = 3\sin C$，则由正弦定理，得\[2b = 3c,\]即 $b = \dfrac{3c}{2}$，再结合已知，得 $a = 2c$，所以由余弦定理，得\[\begin{split}\cos A &= \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2bc} \\&= \dfrac{{\dfrac{9}{4}{c^2} + {c^2} - 4{c^2}}}{{3{c^2}}}\\&= - \dfrac{1}{4}.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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