如图，在边长为 ${\mathrm{e}}$（${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 ．
【难度】
【出处】
2014年高考福建卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2}{{{{\mathrm{e}}^2}}}$
【解析】
根据定积分计算阴影部分面积，面积比即为对应概率．由于正方形关于 $y=x$ 对称，$y=\mathrm e^x$ 与 $y=\ln x$ 关于 $y=x$ 对称，因此，两部分阴影的面积相等，计算由 $y=\ln x$ 与正方形围成的阴影面积为\[\int_1^{\mathrm e}\ln x{\mathrm d}x=\left.\left(x\ln x-x\right)\right|_1^{\mathrm e} =1,\]因此，两部分的阴影面积的总和为 $2$，再结合正方形面积为 $\mathrm{e}^2$，故落在阴影部分的概率为 $\dfrac{2}{{\mathrm e}^2}$．
题目
答案
解析
备注
