正方形的四个顶点 $A\left( { - 1, - 1} \right),B\left( {1, - 1} \right),C\left( {1,1} \right),D\left( { - 1,1} \right)$ 分别在抛物线 $y = - {x^2}$ 和 $y = {x^2}$ 上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形 $ABCD$ 中，则质点落在阴影区域的概率是 ．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【解析】
本题需要先用积分计算得出阴影部分的面积，然后再计算概率．函数 $y=x^2$ 和 $y=-x^2$ 都是偶函数，且这两个函数的图象关于 $x$ 轴对称，所以图中的阴影区域被两个坐标轴分成的四部分面积是相等的，所以阴影部分的面积为\[4\int_0^1 {\left( {1 - x^2 } \right){\mathrm{d}}x} = \dfrac{8}{3},\]所以质点落在阴影区域的概率是\[ P=\dfrac {\frac{8}{3}}{2\times 2}=\dfrac 23.\]
题目
答案
解析
备注
