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已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$，点 $M$ 与 $C$ 的焦点不重合，若 $M$ 关于 $C$ 的焦点的对称点分别为 $A,B$，线段 $MN$ 的中点在 $C$ 上，则 $\left| {AN} \right| + \left| {BN} \right| = $  ．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的基本量
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    中点与中位线?
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
$ 12 $
【解析】
直接求相应线段的长度很困难，故可以想到根据条件进行转化求解．由对称和中点想到中位线，而中点在椭圆上，且对称中心分别为椭圆的两个焦点，故可以根据椭圆的定义结合中位线的性质解答．设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的焦点为 $ F_1 $，$F_2 $，线段 $ MN $ 的中点为 $D $，则 ${\left|{DF_1}\right|}+{\left|{DF_2}\right|}=6 $，然后根据三角形中位线定理，得 $|AN| + |BN| =12 $．
题目 答案 解析 备注
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