设函数 $f\left( x \right) = \begin{cases}
{x^2} + x,&x < 0 ,\\
- {x^2},&x \geqslant 0. \\
\end{cases}$ 若 $f\left( {f\left( a \right)} \right) \leqslant 2$，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
{x^2} + x,&x < 0 ,\\
- {x^2},&x \geqslant 0. \\
\end{cases}$ 若 $f\left( {f\left( a \right)} \right) \leqslant 2$，则实数 $a$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
$a \leqslant \sqrt 2 $
【解析】
本题需要对 $f\left(a\right)$ 的取值分类讨论，然后再带入分段函数解析式计算．$f\left(x\right)$ 是分段函数，需要分类讨论．
由题意\[\begin{cases}
{f\left(a\right) < 0}, \\
{\left[f\left(a\right)\right] ^2+ f\left(a\right) \leqslant 2},
\end{cases} 或 \begin{cases}{f\left(a\right) \geqslant 0} ,\\
{ - \left[f\left(a\right)\right]^2 \leqslant 2}.
\end{cases}\]解得 $f\left(a\right) \geqslant - 2$．由\[\begin{cases}{a < 0}, \\
{{a^2} + a \geqslant - 2},
\end{cases} 或 \begin{cases}{a \geqslant 0} ,\\
{ - {a^2} \geqslant - 2}.
\end{cases}\]解得 $a \leqslant \sqrt 2 $．
由题意\[\begin{cases}
{f\left(a\right) < 0}, \\
{\left[f\left(a\right)\right] ^2+ f\left(a\right) \leqslant 2},
\end{cases} 或 \begin{cases}{f\left(a\right) \geqslant 0} ,\\
{ - \left[f\left(a\right)\right]^2 \leqslant 2}.
\end{cases}\]解得 $f\left(a\right) \geqslant - 2$．由\[\begin{cases}{a < 0}, \\
{{a^2} + a \geqslant - 2},
\end{cases} 或 \begin{cases}{a \geqslant 0} ,\\
{ - {a^2} \geqslant - 2}.
\end{cases}\]解得 $a \leqslant \sqrt 2 $．
题目
答案
解析
备注
