本题是对二项式定理的通项的考查，通过二项展开式的通项，可以列出等量关系，求得 $a$，$b$ 所满足的等式，进而利用均值不等式或将 $a$，$b$ 用一个未知量表示，求得代数式的最值．${\left(a{x^2} + \dfrac{b}{x}\right)^6}$ 的展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm C}_6^r\cdot \left(ax^2\right)^{6-r}\cdot \left(\dfrac{b}{x}\right)^r={\mathrm C}_6^r\cdot a^{6-r}\cdot b^r\cdot x^{12-3r}$．因为 $x^3$ 项的系数为 $20$，令 $12-3r=3$，解得 $r=3$，所以 ${\mathrm C}_6^3\cdot a^3\cdot b^3=20$，因此 $ab=1$．由均值不等式得，$a^2+b^2\geqslant 2ab$，所以 $a^2+b^2$ 的最小值为 $2$．