抛物线 ${x^2} = 2py\left(p > 0\right)$ 的焦点为 $F$，其准线与双曲线 $\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{y^2}{3} = 1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，若 $\triangle ABF$ 为等边三角形，则 $p = $ ．
【难度】
【出处】
2013年高考江西卷（理）
【标注】
【答案】
$ 6 $
【解析】
利用等边三角形底与高的比例关系求解．由于 ${x^2} = 2py\left( {p > 0} \right)$ 的准线为 $y = - \dfrac{p}{2}$，由\[\begin{cases}
y = - \dfrac{p}{2}, \\
{x^2} - {y^2} = 3, \\
\end{cases}\]解得准线与双曲线 ${x^2} - {y^2} = 3$ 的交点为\[A\left( { - \sqrt {3 + \dfrac{1}{4}{p^2}} , - \dfrac{p}{2}} \right), B\left( {\sqrt {3 + \dfrac{1}{4}{p^2}} , - \dfrac{p}{2}} \right),\]所以\[{\left|{AB}\right|} = 2\sqrt {3 + \dfrac{1}{4}{p^2}}.\]由 $\triangle ABF$ 为等边三角形，得 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}{\left|{AB}\right|} = p$，解得 $p = 6$．
y = - \dfrac{p}{2}, \\
{x^2} - {y^2} = 3, \\
\end{cases}\]解得准线与双曲线 ${x^2} - {y^2} = 3$ 的交点为\[A\left( { - \sqrt {3 + \dfrac{1}{4}{p^2}} , - \dfrac{p}{2}} \right), B\left( {\sqrt {3 + \dfrac{1}{4}{p^2}} , - \dfrac{p}{2}} \right),\]所以\[{\left|{AB}\right|} = 2\sqrt {3 + \dfrac{1}{4}{p^2}}.\]由 $\triangle ABF$ 为等边三角形，得 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}{\left|{AB}\right|} = p$，解得 $p = 6$．
题目
答案
解析
备注
