将直角的条件利用向量的数量积为零进行表达，然后判断对应的方程有实根即可．由直线 $y = a$ 交抛物线 $y = {x^2}$ 于 $A$，$B$ 两点，知 $ a>0 $．设 $A\left(-\sqrt a , a\right)$，$B\left(\sqrt a, a\right)$，$C\left(x,x^2\right)$，$x\ne \sqrt a$，由题意可知，存在 $x$ 使得 $\overrightarrow {CA}\cdot \overrightarrow {CB}=0$成立，整理可得\[x^4+\left(1-2a\right)x^2+a^2-a\overset {\left[a\right]}=0 ,\]（推导中用到 $\left[a\right] $．）分解因式得\[\left(x^2-a\right)\left(x^2+1-a\right)=0,\]由 $x\ne \sqrt a$，得 $x^2+1-a=0$，要此方程有解，所以 $a\geqslant 1$，因此 $a$ 的取值范围为 $\left[1,+\infty\right)$．