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椭圆 $\varGamma :\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left( {a > b > 0} \right)$ 的左右焦点分别为 ${F_1}$，${F_2}$，焦距为 $2c$，若直线 $y = \sqrt 3 \left( {x + c} \right)$ 与椭圆 $\varGamma $ 的一个交点 $M$ 满足 $\angle M{F_1}{F_2} = 2\angle M{F_2}{F_1}$，则该椭圆的离心率等于 ．
【难度】
【出处】
2013年高考福建卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
  • 题型
    >
    解析几何
【答案】
$\sqrt 3 - 1$
【解析】
由题中的角度关系，从直线的斜率入手得出角度值是本题的关键所在．已知 ${F_1}\left( - c,0\right)$，${F_2}\left(c,0\right)$，直线 $y = \sqrt 3 \left(x + c\right)$ 过点 ${F_1}$，且斜率为 $\sqrt 3 $，所以，倾斜角 $\angle M{F_1}{F_2} = 60^\circ $．又 $\angle M{F_2}{F_1} = \dfrac{1}{2}\angle M{F_1}{F_2} = 30^\circ $，故 $\angle {F_1}M{F_2} = 90^\circ $，则 $|M{F_1}| = c$，$|M{F_2}| = \sqrt 3 c$．由椭圆定义知 $|M{F_1}| + |M{F_2}| = c + \sqrt 3 c = 2a$，所以，离心率$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1 + \sqrt 3 } = \sqrt 3 - 1$．
题目 答案 解析 备注
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