已知 $a,b,c \in {\mathbb{R}}$，$a + 2b + 3c = 6$，则 $ {a^2} + 4{b^2} + 9{c^2} $ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$ 12 $
【解析】
本题考查柯西不等式的应用，观察题目所提供条件，构造柯西不等式进行求解．根据柯西不等式，有\[\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+\left(2b\right)^2+\left(3c\right)^2\right)\geqslant\left(a+2b+3c\right)^2,\]结合 $a+2b+3c=6$，得\[a^2+4b^2+9c^2\geqslant12.\]当且仅当 $\dfrac{a}{1}=\dfrac{2b}{1}=\dfrac{3c}{1}$ 时，等号成立．
题目
答案
解析
备注
