如图，在半径为 $\sqrt 7 $ 的 $ \odot O$ 中，弦 $AB$，$CD$ 相交于点 $ P $，$PA = PB = 2 $，$PD = 1$，则圆心 $ O $ 到弦 $ CD $ 的距离为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$ \dfrac {\sqrt 3 } 2 $
【解析】
本题注意在圆中的条件，考虑利用圆的垂径定理，结合相交弦定理解题．过点 $O$ 作 $OE\perp CD$ 于点 $E$，可知 $E$ 为线段 $CD$ 中点，连接 $CO$，如图
根据相交弦定理，得\[DP\cdot CP=AP\cdot BP,\]结合 $PA=PB=2$，$PD=1$，得 $CP=4$，因此，\[DE=5,CE=\dfrac52,\]再结合 $CO=\sqrt7$，得\[EO=\sqrt{CO^2-CE^2}=\dfrac{\sqrt3}{2},\]因此，圆心 $O$ 到弦 $CD$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$．
根据相交弦定理，得\[DP\cdot CP=AP\cdot BP,\]结合 $PA=PB=2$，$PD=1$，得 $CP=4$，因此，\[DE=5,CE=\dfrac52,\]再结合 $CO=\sqrt7$，得\[EO=\sqrt{CO^2-CE^2}=\dfrac{\sqrt3}{2},\]因此，圆心 $O$ 到弦 $CD$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$．
题目
答案
解析
备注
