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记 $\max \left\{ {x,y} \right\} = {\begin{cases}
x,x \geqslant y, \\
y,x < y, \\
\end{cases}}$ $ \min \left\{ {x,y} \right\} = {\begin{cases}y,x \geqslant y, \\
x,x < y ,\\
\end{cases}}$ 设 ${\overrightarrow{a}}, \overrightarrow b $ 为平面向量，则 \((\qquad)\)
A: $\min \left\{ {\left| {{\overrightarrow {a}} + {\overrightarrow {b}}} \right| ,\left| {{\overrightarrow {a}} - {\overrightarrow {b}}} \right| } \right\} \leqslant \min \left\{ {\left| {\overrightarrow {a}} \right| ,\left| {\overrightarrow {b}} \right| } \right\}$
B: $\min \left\{ {\left| {{\overrightarrow {a}} + {\overrightarrow {b}}} \right| ,\left| {{\overrightarrow {a}} - {\overrightarrow {b}}}\right | } \right\} \geqslant \min \left\{ {\left| {\overrightarrow {a}} \right| ,\left| {\overrightarrow {b}} \right| } \right\}$
C: $\max \left\{ {{{\left| {{\overrightarrow {a}} + {\overrightarrow {b}}}\right | }^2},{{\left| {{\overrightarrow {a}} - {\overrightarrow {b}}} \right|}^2}} \right\} \leqslant {\left| {\overrightarrow {a}} \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {b}} \right|^2}$
D: $\max \left\{ {{{\left| {{\overrightarrow {a}} + {\overrightarrow {b}}}\right | }^2},{{\left| {{\overrightarrow {a}} - {\overrightarrow {b}}}\right | }^2}} \right\} \geqslant {\left| {\overrightarrow {a}} \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {b}} \right|^2}$
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    高中视角下的解析几何
    >
    平面向量与平面直角坐标系
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 题型
    >
    向量
【答案】
D
【解析】
本题可以利用向量的坐标运算或数量积的定义来求解．若 $\overrightarrow a=\left(1,0\right)$，$\overrightarrow b=\left(0,1\right)$，则\[\min \left\{ \left| \overrightarrow a + \overrightarrow b \right| , \left| \overrightarrow a - \overrightarrow b \right| \right\}=\left| \overrightarrow a + \overrightarrow b \right| =\left| \overrightarrow a - \overrightarrow b \right|\overset{\left[a\right]}=\sqrt 2,\]（推导中用到：[a]）而\[\min \left\{ \left| \overrightarrow a \right| , \left| \overrightarrow b\right|\right\}= \left| \overrightarrow a \right| = \left| \overrightarrow b\right|\overset{\left[b\right]}=1,\]（推导中用到：[b]）所以A不正确；
若 $\overrightarrow a=\left(1,\dfrac 12\right)$，$\overrightarrow b=\left(\dfrac 12,1\right)$，则\[\min \left\{ \left| \overrightarrow a + \overrightarrow b \right| , \left| \overrightarrow a - \overrightarrow b \right| \right\}=\left| \overrightarrow a - \overrightarrow b \right|\overset{\left[c\right]}=\dfrac{\sqrt 2}2,\]（推导中用到：[d]）而\[ \min \left\{ \left| \overrightarrow a \right| , \left| \overrightarrow b\right|\right\}=\left| \overrightarrow a \right| = \left| \overrightarrow b\right|\overset{\left[d\right]}=\dfrac{\sqrt 5}2,\]（推导中用到：[d]）所以B不正确；
由平面向量的数量积可得\[\left| \overrightarrow a + \overrightarrow b \right|^2=\left|{\overrightarrow a}\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2+2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \]和\[\left| \overrightarrow a - \overrightarrow b \right|^2=\left|{\overrightarrow a}\right|^2+\left|\overrightarrow b\right|^2-2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b ,\]可知D正确，C不正确．
题目 答案 解析 备注
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