设 ${S_n}$ 为数列 $ \left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $ n $ 项和，${S_n} = {\left( - 1\right)^n}{a_n} - \dfrac{1}{2^n},n \in {{\mathbb{N}}^ * } $，则 ${a_3} = $ ；${S_1} + {S_2} + \cdot \cdot \cdot + {S_{100}} = $ ．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$-\dfrac 1 {16}$；$\dfrac 1 3 \left(\dfrac 1 {2^{100}} -1\right) $
【解析】
本题考查数列的求和公式，涉及含有 $\left( - 1\right)^n$ 的数列问题要对奇偶性进行分类研究．当 $n=1$ 时，$a_1=-\dfrac{1}{4}$；
当 $n \geqslant 2$ 时，利用$a_n=S_n-S_{n-1}$，可得 $a_n=\left(-1\right)^na_n+\left(-1\right)^na_{n-1}+\dfrac{1}{2^n}$．
所以，当 $n$ 为正奇数时，$a_n=-\dfrac{1}{2^{n+1}}$；当 $n$ 为正偶数时，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$．
另外，$-a_1+a_2=\dfrac{1}{2}$，$-a_3+a_4=\dfrac{1}{2^3}$，$-a_5+a_6=\dfrac{1}{2^5}$，则\[\begin{split}&{S_1} + {S_2} + \cdots + {S_{100}} \\=& \left(-a_1+a_2\right)+\left(-a_3+a_4\right)+\cdots+\left(-a_{99}+a_{100}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{100}}\right)\\ =&\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^{99}}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{100}}\right)\\\overset{\left[a\right]}=&\dfrac 1 3 \left(\dfrac 1 {2^{100}} -1\right) .\end{split}\]（推导中用到[a]：）
当 $n \geqslant 2$ 时，利用$a_n=S_n-S_{n-1}$，可得 $a_n=\left(-1\right)^na_n+\left(-1\right)^na_{n-1}+\dfrac{1}{2^n}$．
所以，当 $n$ 为正奇数时，$a_n=-\dfrac{1}{2^{n+1}}$；当 $n$ 为正偶数时，$a_n=\dfrac{1}{2^n}$．
另外，$-a_1+a_2=\dfrac{1}{2}$，$-a_3+a_4=\dfrac{1}{2^3}$，$-a_5+a_6=\dfrac{1}{2^5}$，则\[\begin{split}&{S_1} + {S_2} + \cdots + {S_{100}} \\=& \left(-a_1+a_2\right)+\left(-a_3+a_4\right)+\cdots+\left(-a_{99}+a_{100}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{100}}\right)\\ =&\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^3}+\cdots+\dfrac{1}{2^{99}}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{100}}\right)\\\overset{\left[a\right]}=&\dfrac 1 3 \left(\dfrac 1 {2^{100}} -1\right) .\end{split}\]（推导中用到[a]：）
题目
答案
解析
备注
