设函数 $f\left(x\right) = {a^x} + {b^x} - {c^x}$，其中 $ c > a > 0 $，$c > b > 0 $．
（1）记集合 $M = \left\{ \left(a, b,c\right) \left| \right. a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长, 且 a = b \right\}$，则 $\left(a,b,c\right) \in M$ 所对应的 $f\left(x\right)$ 的零点的取值集合为 ；
（2）若 $a$，$b$，$c$ 是 $ \triangle ABC $ 的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
① $\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right)$，$ f\left( x \right) > 0 $；
② $\exists x \in {\mathbb{R}}$，使 $ {a^x}$，$ {b^x} $，${c^x} $ 不能构成一个三角形的三条边长；
③ 若 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，则 $ \exists x \in \left( {1,2} \right) $，使 $f\left( x \right) = 0 $．
（1）记集合 $M = \left\{ \left(a, b,c\right) \left| \right. a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长, 且 a = b \right\}$，则 $\left(a,b,c\right) \in M$ 所对应的 $f\left(x\right)$ 的零点的取值集合为
（2）若 $a$，$b$，$c$ 是 $ \triangle ABC $ 的三条边长，则下列结论正确的是
① $\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right)$，$ f\left( x \right) > 0 $；
② $\exists x \in {\mathbb{R}}$，使 $ {a^x}$，$ {b^x} $，${c^x} $ 不能构成一个三角形的三条边长；
③ 若 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，则 $ \exists x \in \left( {1,2} \right) $，使 $f\left( x \right) = 0 $．
【难度】
【出处】
2013年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$\left\{x \left| \right. 0<x\leqslant 1\right\}$；①②③
【解析】
本题考查指数函数的图象及性质，较为综合，原函数变形为 $ f\left(x\right)=c^x\left[\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^x-1\right] $ 进行考虑．（1）因为 $ c>a $，由 $ c\geqslant a+b=2a $，得 $\dfrac{c}{a}\geqslant 2 $，所以$ \ln {\dfrac{c}{a}}\geqslant \ln 2>0 $．
令\[f\left(x\right)=2a^x-c^x=c^x\left[2\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x-1\right]=0,\]得$ \left({\dfrac{c}{a}}\right)^x=2 $，所以\[x=\log_{\frac{c}{a}}2=\dfrac{\ln2}{\ln\dfrac{c}{a}}\leqslant\dfrac{\ln2
}{\ln2}=1, \]所以 $ 0<x\leqslant 1 $．
（2）因为 $ f\left(x\right)=c^x\left[\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^x-1\right] $，
又 $\dfrac{a}{c}<1 $，$\dfrac{b}{c} <1 $，由指数函数的性质知对 $\forall x\in \left(-\infty ,1\right) $，\[\begin{split}\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^x-1&>\left({\dfrac{a}{c}}\right)^1+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^1-1\\&=\dfrac{a+b-c}{c}>0.\end{split}\]所以命题 ① 正确；
令 $ x=-1 $，$ a=2 $，$ b=4 $，$ c=5 $，则 $ a^x=\dfrac 12 $，$ b^x=\dfrac 14 $，$ c^x=\dfrac 15 $ 不能构成一个三角形的三条边长．所以命题 ② 正确；
若三角形为钝角三角形，由余弦定理可知 $ a^2+b^2-c^2<0 $，从而有 $ f\left(1\right)=a+b-c>0 $，$ f\left(2\right)=a^2+b^2-c^2<0 $，所以$ \exists x\in \left(1,2\right)$，使 $ f\left(x\right)=0 $．所以 ③ 正确．
令\[f\left(x\right)=2a^x-c^x=c^x\left[2\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x-1\right]=0,\]得$ \left({\dfrac{c}{a}}\right)^x=2 $，所以\[x=\log_{\frac{c}{a}}2=\dfrac{\ln2}{\ln\dfrac{c}{a}}\leqslant\dfrac{\ln2
}{\ln2}=1, \]所以 $ 0<x\leqslant 1 $．
（2）因为 $ f\left(x\right)=c^x\left[\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^x-1\right] $，
又 $\dfrac{a}{c}<1 $，$\dfrac{b}{c} <1 $，由指数函数的性质知对 $\forall x\in \left(-\infty ,1\right) $，\[\begin{split}\left({\dfrac{a}{c}}\right)^x+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^x-1&>\left({\dfrac{a}{c}}\right)^1+\left({\dfrac{b}{c}}\right)^1-1\\&=\dfrac{a+b-c}{c}>0.\end{split}\]所以命题 ① 正确；
令 $ x=-1 $，$ a=2 $，$ b=4 $，$ c=5 $，则 $ a^x=\dfrac 12 $，$ b^x=\dfrac 14 $，$ c^x=\dfrac 15 $ 不能构成一个三角形的三条边长．所以命题 ② 正确；
若三角形为钝角三角形，由余弦定理可知 $ a^2+b^2-c^2<0 $，从而有 $ f\left(1\right)=a+b-c>0 $，$ f\left(2\right)=a^2+b^2-c^2<0 $，所以$ \exists x\in \left(1,2\right)$，使 $ f\left(x\right)=0 $．所以 ③ 正确．
题目
答案
解析
备注
