已知甲盒中仅有 $ 1 $ 个球且为红球，乙盒中有 $m$ 个红球和 $n$ 个蓝球 $\left( {m \geqslant 3,n \geqslant 3} \right)$，从乙盒中随机抽取 $i\left(i = 1,2\right)$ 个球放入甲盒中．
（a）放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ${\xi _i}\left( {i = 1,2} \right)$；
（b）放入 $i$ 个球后，从甲盒中取 $ 1 $ 个球是红球的概率记为 ${p_i}\left( {i = 1,2} \right)$．
则 \((\qquad)\)
（a）放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ${\xi _i}\left( {i = 1,2} \right)$；
（b）放入 $i$ 个球后，从甲盒中取 $ 1 $ 个球是红球的概率记为 ${p_i}\left( {i = 1,2} \right)$．
则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
A
【解析】
本题属于分次不放回取球，可分别列出所求的概率和分布列，再比较．乙盒中取出 $1$ 个红球的概率为\[p=\dfrac m{m+n}.\]若乙盒中取出 $1$ 个红球放入甲盒，从甲盒中取 $ 1 $ 个球是红球的概率为\[p_{11}=\dfrac m{m+n}\cdot \dfrac 22=\dfrac m{m+n}.\]若乙盒中取出 $1$ 个蓝球放入甲盒，从甲盒中取 $ 1 $ 个球是红球的概率为\[p_{12}=\dfrac n{m+n}\cdot \dfrac 12.\]所以\[p_1\overset{\left[a\right]}=p_{11}+p_{12}=\dfrac m{m+n}+\dfrac n{m+n}\cdot \dfrac 12,\]（推导中用到：[a]）
同理可得\[p_2=\dfrac{\mathrm {C}_m^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}+\dfrac{{\mathrm {C}}_m^1{\mathrm {C}}_n^1}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}\cdot \dfrac 23+\dfrac{{\mathrm {C}}_n^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}\cdot \dfrac 13.\]因为 $p_1-p_2>0$，所以 $p_1>p_2$．
而 $\xi_1$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\xi_1 & 1 & 2 \\ \hline
p & \dfrac n{m+n} & \dfrac m{m+n}\\ \hline
\end{array} \]所以 $E\left(\xi_1\right)=\dfrac{n+2m}{m+n}$．
$\xi_2$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\xi_2 & 1 & 2&3 \\ \hline
p & \dfrac{\mathrm {C}_n^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2} & \dfrac{\mathrm {C}_m^1\mathrm {C}_n^1}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}&\dfrac{\mathrm {C}_m^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2} \\ \hline
\end{array} \]所以 $E\left(\xi_2\right)=\dfrac{\mathrm {C}_n^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2} +\dfrac{2\mathrm {C}_m^1\mathrm {C}_n^1}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}+\dfrac{3\mathrm {C}_m^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}$．
因为 $E\left(\xi_1\right)-E\left(\xi_2\right)<0$，所以 $E\left(\xi_1\right)<E\left(\xi_2\right)$．
同理可得\[p_2=\dfrac{\mathrm {C}_m^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}+\dfrac{{\mathrm {C}}_m^1{\mathrm {C}}_n^1}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}\cdot \dfrac 23+\dfrac{{\mathrm {C}}_n^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}\cdot \dfrac 13.\]因为 $p_1-p_2>0$，所以 $p_1>p_2$．
而 $\xi_1$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline
\xi_1 & 1 & 2 \\ \hline
p & \dfrac n{m+n} & \dfrac m{m+n}\\ \hline
\end{array} \]所以 $E\left(\xi_1\right)=\dfrac{n+2m}{m+n}$．
$\xi_2$ 的分布列为\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\xi_2 & 1 & 2&3 \\ \hline
p & \dfrac{\mathrm {C}_n^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2} & \dfrac{\mathrm {C}_m^1\mathrm {C}_n^1}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}&\dfrac{\mathrm {C}_m^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2} \\ \hline
\end{array} \]所以 $E\left(\xi_2\right)=\dfrac{\mathrm {C}_n^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2} +\dfrac{2\mathrm {C}_m^1\mathrm {C}_n^1}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}+\dfrac{3\mathrm {C}_m^2}{{\mathrm {C}}_{m+n}^2}$．
因为 $E\left(\xi_1\right)-E\left(\xi_2\right)<0$，所以 $E\left(\xi_1\right)<E\left(\xi_2\right)$．
题目
答案
解析
备注
