设 $x,y,z \in {\mathbb{R}}$，且满足：${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$，$x + 2y + 3z = \sqrt {14} $，则 $x + y + z = $ ．
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{{3\sqrt {14} }}{7}$
【解析】
本题可以利用柯西不等式求解．由柯西不等式可得\[\left({x^2} + {y^2} + {z^2} \right)\left(1+4+9\right)\geqslant \left(x+2y+3z\right)^2=14.\]当且仅当\[\dfrac{x}1=\dfrac{y}2=\dfrac z3\]时等号成立，本题中等号是成立的，所以可解得\[x=\dfrac{\sqrt{14}}{14},y=\dfrac{\sqrt{14}}{7},z=\dfrac{3\sqrt{14}}{14}.\]所以\[x + y + z =\dfrac{{3\sqrt {14} }}{7}.\]
题目
答案
解析
备注
