古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $ 1,3,6,10,\cdots$，第 $n$ 个三角形数为 $\dfrac{n\left(n + 1\right)}{2} = \dfrac{1}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n$．记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N\left( {n,k} \right)\left(k \geqslant 3\right)$，以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：
三角形数 $N\left( {n,3} \right){ = }\dfrac{1}{2}{n^2}{ + }\dfrac{ 1 }{ 2 }n$，
正方形数 $N\left( {n,4} \right){ = }{n^2}$，
五边形数 $N\left( {n,5} \right){ = }\dfrac{3}{2}{n^2} - \dfrac{ 1 }{ 2 }n$，
六边形数 $N\left( {n,6} \right){ = }2{n^2} - n$，
$ \cdots\cdots$
可以推测 $N\left( {n,k} \right)$ 的表达式，由此计算 $N\left( {10,24} \right) = $ ．
三角形数 $N\left( {n,3} \right){ = }\dfrac{1}{2}{n^2}{ + }\dfrac{ 1 }{ 2 }n$，
正方形数 $N\left( {n,4} \right){ = }{n^2}$，
五边形数 $N\left( {n,5} \right){ = }\dfrac{3}{2}{n^2} - \dfrac{ 1 }{ 2 }n$，
六边形数 $N\left( {n,6} \right){ = }2{n^2} - n$，
$ \cdots\cdots$
可以推测 $N\left( {n,k} \right)$ 的表达式，由此计算 $N\left( {10,24} \right) = $
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
$ 1000 $
【解析】
先根据给出的几个结论，推测出当 $k$ 为偶数时，$N\left( {n,k} \right)$ 的表达式，然后再将 $n = 10$，$k = 24$ 代入，计算 $N\left( {10,24} \right)$ 的值．由\[N\left( {n,4} \right) = {n^2},N\left( {n,6} \right) = 2{n^2} - n, \cdots, \]可以推测：当 $k$ 为偶数时，\[N\left( {n,k} \right) = \left( {\dfrac{k}{2} - 1} \right){n^2} - \left( {\dfrac{k}{2} - 2} \right)n,\]于是\[N\left( {n,24} \right) = 11{n^2} - 10n,\]故 $N\left( {10,24} \right) = 11 \times {10^2} - 10 \times 10 = 1000$．
题目
答案
解析
备注
