在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}
x = a\cos \varphi \\
y = b\sin \varphi \\
\end{cases}$（$\varphi $ 为参数，$a > b > 0$），在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标方程分别为 $\rho \sin \left( {\theta + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}m$（$m$ 为非零常数）与 $\rho = b$，若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆 $C$ 的离心率为 ．
x = a\cos \varphi \\
y = b\sin \varphi \\
\end{cases}$（$\varphi $ 为参数，$a > b > 0$），在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标方程分别为 $\rho \sin \left( {\theta + \dfrac{\mathrm \pi} {4}} \right) = \dfrac{\sqrt 2 }{2}m$（$m$ 为非零常数）与 $\rho = b$，若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆 $C$ 的离心率为
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（理）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 6 }{3}$
【解析】
本题需要把方程都化为直角坐标系下的普通方程来处理．直线 $l$ 即\[\rho\left(\sin\theta \cos \dfrac{\mathrm \pi} 4+\cos\theta \sin \dfrac{\mathrm \pi} 4\right)=\dfrac {\sqrt 2 }{2}m, \]化为直角坐标系下的方程为\[x+y=m.\]圆 $O$ 化为直角坐标系下的方程为\[x^2+y^2=b^2.\]由直线 $l$ 与圆 $O$ 相切可得\[\dfrac{|m|}{\sqrt 2}=b.\]又直线 $l:x+y=m$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，于是椭圆的半焦距\[c=|m|=\sqrt 2b,\]椭圆 $C$ 的参数方程中的 $a$ 和 $b$ 即为椭圆中的实半轴和虚半轴长，所以椭圆的离心率\[e=\dfrac ca=\dfrac c{\sqrt{b^2+c^2}}=\dfrac{\sqrt 6}3.\]
题目
答案
解析
备注
