设 $z = kx + y$，其中实数 $x$，$y$ 满足 ${\begin{cases}
x + y - 2 \geqslant 0, \\
x - 2y + 4 \geqslant 0 ,\\
2x - y - 4 \leqslant 0 ,\\
\end{cases}}$ 若 $z$ 的最大值为 $ 12 $，则实数 $k = $ ．
x + y - 2 \geqslant 0, \\
x - 2y + 4 \geqslant 0 ,\\
2x - y - 4 \leqslant 0 ,\\
\end{cases}}$ 若 $z$ 的最大值为 $ 12 $，则实数 $k = $
【难度】
【出处】
2013年高考浙江卷（理）
【标注】
【答案】
$ 2 $
【解析】
本题考查线性规划相关知识，先画出可行域，需注意对 $k$ 的分类讨论．可行域如图所示．
因为 $ z=kx+y$，所以 $ y=-kx+z$．
则 $z$ 为直线在 $y$ 轴上的纵截距，纵截距越大，$z$ 越大．
当 $k>0$ 时，直线过点 $C\left(4,4\right)$ 时，$z$ 最大．
又最大值为 $12$，所以 $ 4k+4=12$，解得 $ k=2$．
当 $k<0$ 时，由于 $z$ 的最大值只可能在边界点取到，而 $A,B,C$ 三点的坐标代入 $12=kx+y$，得到的 $k$ 都为正数，所以不满足题意．
因此 $k=2$．
因为 $ z=kx+y$，所以 $ y=-kx+z$．则 $z$ 为直线在 $y$ 轴上的纵截距，纵截距越大，$z$ 越大．
当 $k>0$ 时，直线过点 $C\left(4,4\right)$ 时，$z$ 最大．
又最大值为 $12$，所以 $ 4k+4=12$，解得 $ k=2$．
当 $k<0$ 时，由于 $z$ 的最大值只可能在边界点取到，而 $A,B,C$ 三点的坐标代入 $12=kx+y$，得到的 $k$ 都为正数，所以不满足题意．
因此 $k=2$．
题目
答案
解析
备注
