设 $\alpha \in \left(0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right) $，$ \beta \in \left(0,\dfrac{{\mathrm \pi} }{2}\right)$，且 $\tan \alpha = \dfrac{1 + \sin \beta }{\cos \beta }$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅰ卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
本题考查三角化简相关知识，将问题切化弦之后利用和差角公式进行求解．因为 $\tan \alpha=\dfrac {1+\sin \beta} {\cos \beta} $，所以 $ \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac {1+\sin \beta} {\cos \beta} $，整理得 $\sin \left(\alpha-\beta\right)=\cos \alpha$．又 $ \cos \alpha=\sin \left(\dfrac {\mathrm \pi} 2 -\alpha\right) $，所以 $\sin \left(\alpha-\beta\right)=\sin \left(\dfrac {\mathrm \pi} 2 -\alpha\right) $．
由于 $\alpha-\beta\in\left(-\dfrac {\mathrm \pi} 2 ,\dfrac {\mathrm \pi} 2 \right)$，$\dfrac {\mathrm \pi} 2 -\alpha \in\left(0,\dfrac {\mathrm \pi} 2 \right)$，所以 $\alpha-\beta=\dfrac {\mathrm \pi} 2 -\alpha$，即 $2\alpha - \beta = \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$．
由于 $\alpha-\beta\in\left(-\dfrac {\mathrm \pi} 2 ,\dfrac {\mathrm \pi} 2 \right)$，$\dfrac {\mathrm \pi} 2 -\alpha \in\left(0,\dfrac {\mathrm \pi} 2 \right)$，所以 $\alpha-\beta=\dfrac {\mathrm \pi} 2 -\alpha$，即 $2\alpha - \beta = \dfrac{{\mathrm \pi} }{2}$．
题目
答案
解析
备注
