已知 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数．当 $x > 0$ 时，$f\left(x\right) = {x^2} - 4x$，则不等式 $f\left(x\right) > x$ 的解集用区间表示为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$\left( { - 5,0} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$
【解析】
根据奇函数，求出函数整体的解析式，分段解不等式即可．当 $x > 0$ 时，$f\left(x\right) = {x^2} - 4x$，所以当 $x<0$ 即 $-x>0$ 时，\[f\left(-x\right)=x^2+4x.\]因为 $f\left(x\right)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数，所以\[f\left(-x\right)=-f\left(x\right),\]所以\[-f\left(x\right)=x^2+4x,\]即当 $x<0$ 时，$f\left(x\right)=-x^2-4x$．
当 $x>0$ 时，解不等式$x^2-4x>x$ 得 $x>5$；当 $x<0$ 时，解不等式$-x^2-4x>x$ 得 $-5<x<0$；当 $x=0$ 时，$f\left(0\right)=0$，不等式无解．综上，不等式 $f\left(x\right) > x$ 的解集用区间表示为 $\left( { - 5,0} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$．
当 $x>0$ 时，解不等式$x^2-4x>x$ 得 $x>5$；当 $x<0$ 时，解不等式$-x^2-4x>x$ 得 $-5<x<0$；当 $x=0$ 时，$f\left(0\right)=0$，不等式无解．综上，不等式 $f\left(x\right) > x$ 的解集用区间表示为 $\left( { - 5,0} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$．
题目
答案
解析
备注
