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在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD = 1$，$\angle BAD = 60^\circ $，$E$ 为 $CD$ 的中点．若 $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} = 1$，则 $AB$ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
  • 知识点
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    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的数量积
  • 知识点
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    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
【答案】
$ \dfrac {1}{2}$
【解析】
本题可以以 $\overrightarrow {AD}$ 和 $\overrightarrow {AB}$ 为基底来处理．$AB$ 的长为 $x$，由已知得 $\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}=\dfrac {1}{2}x$，则\[\begin{split}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BE} &\overset{\left[a\right]}= \left(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} \right)\cdot\left(\overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}\right) \\&\overset{\left[b\right]}=\dfrac {1}{4}x-\dfrac {1}{2}x^2+1\\&= 1,\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]）
解得 $x=\dfrac {1}{2}$．
题目 答案 解析 备注
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