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如图，$\triangle ABC$ 为圆的内接三角形，$BD$ 为圆的弦，且 $BD\parallel AC$．过点 $A$ 作圆的切线与 $DB$ 的延长线交于点 $E$，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $F$．若 $AB = AC$，$AE = 6$，$BD = 5$，则线段 $CF$ 的长为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考天津卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    平面几何中的常用知识
    >
    弦切角和圆周角定理
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    相似三角形
【答案】
$\dfrac{8}{3} $
【解析】
本题要先根据 $AB = AC$ 的条件和弦切角定理得到 $AE\parallel BC$，然后利用相似三角形的性质得到边的关系．由弦切角定理得 $\angle BAE=\angle ACB$，又 $AB = AC$，所以 $\angle ACB=\angle ABC$，所以 $\angle BAE=\angle ABC$，所以 $AE\parallel BC$．又 $BD\parallel AC$，所以四边形 $ACBE$ 为平行四边形．由切割线定理得 $BE=4$，所以 $BE=AC=AB=4$，$BC=6$．又 $\triangle ACF\backsim \triangle DBF$，所以 $\dfrac{CF}{6-CF}=\dfrac45$，解得 $CF=\dfrac{8}{3}$．
题目 答案 解析 备注
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