若数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为 ${S_n} = \dfrac{2}{3}{a_n} + \dfrac{1}{3}$，则数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式是 ${a_n} = $ ．
【难度】
【出处】
2013年高考新课标I卷（理）
【标注】
【答案】
${\left( { - 2} \right)^{n - 1}}$
【解析】
本题考查等比数列的性质．通过下标变换，得到 $s_{n-1}=\dfrac23a_{n-1}+\dfrac13$，再结合 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$，即可得到．由 ${S_n} = \dfrac{2}{3}{a_n} + \dfrac{1}{3}$ 得 $ S_{n-1}=\dfrac 23 a_{n-1}+\dfrac 13$（$ n\geqslant2 $），两式相减得 $ a_n=S_n-S_{n-1} =\dfrac 23 a_n-\dfrac 23 a_{n-1}$，即\[ a_n=-2a_{n-1} \left(n\geqslant 2 \right) ,\]所以数列 $\left\{a_n\right\} $ 为等比数列．
又 $a_1= \dfrac{2}{3}{a_1} + \dfrac{1}{3}$，即 $a_1=1$，所以 ${a_n} ={\left( { - 2} \right)^{n - 1}}$．
又 $a_1= \dfrac{2}{3}{a_1} + \dfrac{1}{3}$，即 $a_1=1$，所以 ${a_n} ={\left( { - 2} \right)^{n - 1}}$．
题目
答案
解析
备注
