记不等式组 ${\begin{cases}
x \geqslant 0, \\
x + 3y \geqslant 4, \\
3x + y \leqslant 4 ,\\
\end{cases}}$ 所表示的平面区域为 $D$，若直线 $y = a\left( {x + 1} \right)$ 与 $D$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是 ．
x \geqslant 0, \\
x + 3y \geqslant 4, \\
3x + y \leqslant 4 ,\\
\end{cases}}$ 所表示的平面区域为 $D$，若直线 $y = a\left( {x + 1} \right)$ 与 $D$ 有公共点，则 $a$ 的取值范围是
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（理）
【标注】
【答案】
$\left[ {\dfrac{1}{2},4} \right]$
【解析】
发现直线 $y=a(x+1)$ 横过定点 $(-1,0)$ 是本题的关键．画出可行域，如图中 $\triangle ABC$ 区域．
因为直线 $y=a\left(x+1\right)$ 恒过定点 $\left(-1,0\right)$，$a$ 是直线 $y=a\left(x+1\right)$ 的斜率，当直线经过 $B$ 点与 $A$ 点这两个边界点时，对应的 $a$ 分别为 $a=\dfrac 12$ 与 $a=4$，故 $a$ 的范围为 $\left[\dfrac 12,4\right]$．
因为直线 $y=a\left(x+1\right)$ 恒过定点 $\left(-1,0\right)$，$a$ 是直线 $y=a\left(x+1\right)$ 的斜率，当直线经过 $B$ 点与 $A$ 点这两个边界点时，对应的 $a$ 分别为 $a=\dfrac 12$ 与 $a=4$，故 $a$ 的范围为 $\left[\dfrac 12,4\right]$．
题目
答案
解析
备注
