根据题目条件需配成 $a,b$ 或 $m,n$ 使用均值．因为 $a$，$b$，$m$，$n$ 均为正数，且 $a + b = 1$，$mn = 2$，所以\[\begin{split} \left( {am + bn} \right)\left( {bm + an} \right) &= ab{m^2} + {a^2}mn + {b^2}mn + ab{n^2} \\ & = ab\left( {{m^2} + {n^2}} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ & \overset {\left[a\right]}\geqslant 2ab \cdot mn + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\ & = 4ab + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \\ & = 2\left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right) \\ & = 2{\left( {a + b} \right)^2} = 2,\end{split} \]（推导中用到：[a]）当且仅当 $m = n = \sqrt 2 $ 时，取" $ = $ "．
所以所求最小值为 $ 2 $．