为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 $ 5 $ 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 $ 7 $，样本方差为 $ 4 $，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 ．
【难度】
【出处】
2013年高考辽宁卷（文）
【标注】
【答案】
$ 10 $
【解析】
根据样本平均数和方差的公式，列出代数式，结合样本为自然数，赋值即可得到．设 $ 5 $ 个班级中参加的人数分别为 ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5}$．
则由题意知\[\dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5}}}{5} = 7,\\ {\left( {{x_1} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_2} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_3} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_4} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_5} - 7} \right)^2} = 20,\]由于样本数据互不相同，且五个整数的平方和为 $ 20 $，则必为\[0 + 1 + 1 + 9 + 9 = 20.\]由 $\left| {x - 7} \right| = 3$．可得\[x = 10 或 x = 4.\]由 $\left| {x - 7} \right| = 1$ 可得\[x = 8 或 x = 6.\]由上可知参加的人数分别为 $ 4,6,7,8,10 $，故最大值为 $ 10 $．
则由题意知\[\dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5}}}{5} = 7,\\ {\left( {{x_1} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_2} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_3} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_4} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_5} - 7} \right)^2} = 20,\]由于样本数据互不相同，且五个整数的平方和为 $ 20 $，则必为\[0 + 1 + 1 + 9 + 9 = 20.\]由 $\left| {x - 7} \right| = 3$．可得\[x = 10 或 x = 4.\]由 $\left| {x - 7} \right| = 1$ 可得\[x = 8 或 x = 6.\]由上可知参加的人数分别为 $ 4,6,7,8,10 $，故最大值为 $ 10 $．
题目
答案
解析
备注
